ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن اینرسی دورانی

ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر محمدرضا یعقوبی 1 دانشجوی کارشناسی یاسر کیانی 2 استادیار گرفتن اینرسی دورانی در تحقیق حاضر به بررسی ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها پرداخته شده است. سازه تیر شکل مورد نظر ساخته شده از ماده همگن و هموژن میباشد که در سطح بالایی در معرض شار حرارتی و در سطح پایینی به صورت عایق میباشد. معادله انتقال حرارت در راستای ضخامت تیر با فرض ترموالاستیسیته غیر کوپل تشکیل شده و به صورت تحلیلی حل شده است. معادله حاکم بر ارتعاش عرضی تیر با استفاده از تئوری تیر اویلر- برنولی و در نظر گرفتن اینرسی دورانی محاسبه شده و به صورت تحلیلی با استفاده از بسط فوریه برای تیرها با تکیهگاه دو سر ساده حل شده است. کلیه نتایج به دست آمده به صورت بدون بعد ارائه شده است و نتایج به دست آمده با نتایج موجود که اینرسی دورانی در آنها صرفنظر شده است مقایسه گردیده است. در پایان نتایج عددی در قالب منحنیهایی رسم گردیده است که وقوع پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت را به خوبی تایید میکند. واژههای راهنما : تیر اویلر-برنولی ارتعاشات واداشته از حرارت ترموالاستیسیته غیرکوپل اینرسی دورانی 1- مقدمه مسالهی ارتعاشات واداشته از حرارت در المانهای سازهای برای اولین بار توسط بولی در سال )6591( مطرح شد [1]. تا آن زمان برای سازههایی که تحت تحریک حرارتی قرار میگیرند تنها مفهوم پاسخ شبه استاتیکی مطرح بود. به این ترتیب که برای یافتن پاسخ سازهای که با گرادیان دما و یا با شار حرارتی تحریک شده است ابتدا معادلهی انتقال حرارت به صورت دینامیکی حل شده و توزیع دما در سازه بدست میآمد. سپس با استفاده از توزیع دما نیروها و ممانهای حرارتی محاسبه شده و در معادلهی حرکت سازه قرار داده میشد. اما در این قسمت از وابستگی معادلهی حرکت سازه به زمان صرف نظر میشد. به بیان بهتر در یافتن پاسخ شبه استاتیکی تاثیر اینرسی در معادلهی حرکت ناچیز فرض شده و نادیده گرفته میشد. در یافتن پاسخ شبه استاتیکی برای سازههایی که تحت تحریک حرارتی قرار گرفتهاند با توجه به صرف نظر از وابستگی معادلهی حرکت به زمان و ناچیز فرض شدن تاثیر اینرسی در آن کمیت زمان که در حل دینامیکی معادلهی انتقال حرارت )توزیع دما( وجود دارد به عنوان کمیتی معلوم و بدون تغییر در پاسخ میدان جابجایی که از حل معادلهی حرکت بدست میآید وارد خواهد شد. 6 دانشجوی کارشناسی گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه شهرکرد شهرکرد mryaghubi@hotmail.com 2 نویسنده مسئول استادیار گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه شهرکرد شهرکرد y.kiani@eng.sku.ac.ir

605 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... بولی در سال )6591( نشان داد که صرف نظر نمودن از تاثیر اینرسی در معادلهی حرکت که به عنوان فرض اساسی در یافتن پاسخ شبه استاتیکی مطرح بود نمیتواند به طور کامل صحیح باشد. وی یک تیر ایزوتروپیک نازک را که سطح پایین آن عایق بوده و در سطح فوقانی به طور ناگهانی در معرض شار حرارتی قرار گرفته است را مورد بررسی قرار داد. بولی پس از حل تحلیلی معادلهی انتقال حرارت و یافتن توزیع دما نیروها و ممانهای حرارتی را در معادلهی ارتعاشات عرضی تئوری تیر اویلر برنولی قرار داد. او با در نظر گرفتن تاثیر اینرسی پاسخ ارتعاشات عرضی تیر را در حالتی که دارای شرایط مرزی ساده باشد بدست آورد. پاسخهای بولی نشان داد که برای تیرهای نازکی که تحت تحریک ناگهانی دما )شوک حرارتی( قرار میگیرند ارتعاشات حرارتی اتفاق میافتد. و این بدان معناست که در برخی از حالتهای خاص نباید از تاثیر اینرسی در معادلهی حرکت صرف نظر نمود. بدین ترتیب نتایج حاصل از مقالهی بولی سبب به چالش کشیده شدن پاسخهای شبه استاتیکی شد که تا آن زمان برای تحریک ناگهانی حرارتی در سازهها مطرح شده بودند. پس از آن بولی و باربر در سال )6591( به تحلیل ارتعاشات حرارتی ورق ایزوتروپیک که تمام مرزهای آن ساده باشند پرداختند[ 2 ]. در این حالت نیز سطح پایینی ورق عایق بوده و سطح فوقانی آن به طور ناگهانی در معرض شار حرارتی قرار گرفته است. در یافتن پاسخ ارتعاشات عرضی ورق از تئوری کلاسیک استفاده شد. نتایج این تحقیق نیز موید پژوهش اولیهی بولی و تصدیقی بر وجود ارتعاشات حرارتی در ورقهای نازک بود. بولی و همچنین بولی و باربر به ترتیب نتیجهی کار خود را اینگونه ارائه دادند که در نظر گرفتن تاثیر اینرسی در ارتعاشات عرضی تیر و ورق زمانی حائز اهمیت خواهد بود که پریود اساسی ارتعاشات تیر و ورق هم مرتبه و یا بزرگتر از زمان مشخصهی دمایی باشد. در همین راستا برای اعتبار سنجی پاسخ شبه استاتیکی تیر و ورق نازک و اینکه این پاسخ در چه صورت بر پاسخ دینامیکی منطبق میشود کمیتی بیبعد به نام پارامتر اینرسی را معرفی نمودند. لازم به ذکر است این پارامتر با بیبعد سازی معادلات حرکت ورق و تیر ظاهر خواهد شد. پارامتر اینرسی در حالت کلی توسط بولی به صورت جذر نسبت زمان مشخصهی دمایی و پریود اساسی ارتعاشات سازه تعریف شده است. بولی و بولی و باربر نشان دادند که اهمیت تاثیر اینرسی با کاهش پارامتر اینرسی افزایش مییابد. در صورتی که این پارامتر را در حالت حدی مورد بررسی قرار دهیم به این نتیجه دست خواهیم یافت که اگر مقدار این پارامتر برابر با صفر باشد تاثیر اینرسی به حدی افزایش مییابد که مانع هرگونه تغییر شکلی در سازه )ورق و تیر( خواهد شد. از سویی در صورتی که پارامتر اینرسی بسیار بزرگ باشد تاثیر اینرسی به کلی از بین رفته و پاسخ ارتعاشات عرضی تیر و ورق بر پاسخ شبه استاتیکی آن منطبق خواهد شد. به این ترتیب و با استفاده از نتایج کارهای بولی و بولی و باربر اینگونه استنباط میشود که وجود ارتعاشات حرارتی یا عدم آن تنها به پارامتر اینرسی بستگی دارد. اگر این پارامتر به اندازه کافی بزرگ باشد )تقریبا نزدیک به عدد یک( پاسخ شبه استاتیکی و دینامیکی تفاوت قابل ملاحظهای خواهند داشت. این در حالی است که اگر این پارامتر بیش از حد بزرگ باشد تاثیر اینرسی ناپدید شده و پاسخ دینامیکی تفاوتی با پاسخ شبه استاتیکی نخواهد داشت. تحقیق حاضر به نوعی ادامه کار ارائه شده توسط بولی میباشد.

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 660 روش حل به کار رفته در تحقیق فعلی منطبق بر روش حل بولی میباشد. با این تفاوت که اینرسی دورانی که در کار بولی صرفنظر شده بود در تحقیق حاضر لحاظ شده است. با حل تحلیل معادله انتقال حرارت و محاسبه گشتاور حرارتی ناشی از آن معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر به صورت تحلیلی حل شده است. پاسخ به دست آمده با صرفنظر از جملات مربوط به اینرسی دورانی به راحتی قابل کاهش به رابطه بولی میباشد. نتایج عددی به صورت گرافهایی رسم شده است که به خوبی وجود پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت را تایید میکند. 2- ارائه فرمولاسیون در این بخش معادلات حاکم بر ارتعاشات حرارتی یک تیر در معرض شار حرارتی تحلیل خواهند شد. هندسه حاکم بر مساله در شکل )6( نشان داده شده است. همانطور که در شکل مشاهده می شود یک تیر ساده به طول L و ضخامت یکسان h و پهنای b که از یک طرف تحت شار حرارتی Q c و از طرف دیگر عایق بندی شده است در نظر گرفته شده است. از فرمولاسیون ترموالاستیسیته غیرکوپل استفاده شده است. بدین معنا که پروفیل دما به صورت مستقل از معادله حاکم استخراج شده و وارد معادله حاکم بر ارتعاشات تیر میشود. برای به دست آوردن توزیع درجه حرارت و ارتعاشات این تیر نیازمند یک رابطه دیفرانسیلی حاکم بر انتقال حرارت )معادله انتقال حرارت گذرای فوریه( و یک رابطه ارتعاشی )معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر اویلر- برنولی( هستیم. 1-2- معادله انتقال حرارت با فرض انتقال حرارت یک بعدی و عدم تولید حرارت در تیر می توان معادله انتقال حرارت را به صورت زیر به دست آورد[ 3 ] K 2 T T = ρc z2 t )6( شکل 1 - شماتیک یک تیر در معرض شار حرارتی در یک سمت و عایق حرارتی در سمت دیگر

666 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... که این رابطه را به صورت زیر میتوان ساده کرد 2 T z 2 = 1 T κ t ضریب رسانش هدایتی ρ دانسیته c ظرفیت گرمایی ویژه و )2( در این رابطه K/(ρc) κ = میباشد. K κ ضریب پخش حرارت تیر هستند. معادله )2( نیازمند دوشرط مرزی و یک شرط اولیه است. اگردر زمان اولیه دمای تیر را T 0 درنظر بگیریم شرط اولیه به صورت زیر است T(z, 0) = T 0 )9( و شرایط مرزی بالا و پایین تیر نیز به صورت زیر نوشته میشوند T )4( z ( h 2, t) = 0 K T )9( z (+ h 2, t) = Q c حال با انتخاب θ = T T 0 و اعمال آن بر روی معادلات )2( - )9( داریم استفاده 2 θ )1( z 2 = 1 θ κ z θ(z, 0) = 0 )1( θ )8( z ( h 2, t) = 0 θ )5( z (+ h 2, t) = Q c K باتوجه به این که شرایط مرزی ناهمگن است از تغییر متغیر f(z) θ(z, (t = θ,z) (t + میکنیم. باتوجه به معادله شرط مرزی )8( داریم θ )60( z ( h df, t) + 2 dz ( h 2 ) = 0 برای دستیابی به شرایط مرزی همگن حاکم بر مجهول (t θ,z) باید داشته باشیم معادله حاکم بر مجهول df )66( dz ( h 2 ) = 0 مشابها با مراجعه به شرط مرزی )5( و برای دستیابی به شرایط مرزی همگن برای t) θ (z, باید داشته باشیم df )62( dz (+ h 2 ) = Q c K از انجایی که شرایط مرزی حاکم بر تابع f(z) هر دو به صورت مشتقی هستند این تابع نمیتواند به صورت خطی باشد. با انتخاب یک تابع حداقل از مرتبه دو برای f(z) خواهیم داشت.

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 662 f(z) = A( 1 2 + z h )2 + B( 1 2 + z h ) + C که در رابطه بالا ضرایب به کار رفته از شرایط مرزی )66( و )62( تعیین خواهند شد. با اعمال شرایط مرزی )69( )66( و )62( به تابع درجه دوم )69( و در نظر گرفتن ثابت = 0 C خواهیم داشت. f(z) = hq c 1 )64( K 2 (1 2 + z h )2 با توجه به معادله شرط اولیه )1( و اعمال تغییر متغیر مورد نظر به رابطه زیر می رسیم θ θ (z, 0) = f(z) )69( شرایط مرزی مربوط به معادله حاکم بر (t θ,z) به صورت زیر هستند z ( h 2, t) = θ z (+ h 2, t) = 0 از شرایط مرزی بالا می توان فهمید که مساله دارای توابع ویژه به صورت {( z,1} cos nπ( 1 + 2 h است. با می θ (z, t) = A 0 (t) + A n (t) cos nπ( 1 2 + z h ) n=1 )61( اعمال بسط فوریه توان نوشت حال اگر معادله )69( و )61( را در معادله )1( قرار دهیم در این صورت پس از ساده سازی به دو معادله زیر )61( می رسیم da 0 (t) = Q cκ )68( dt hk 1 da n (t) + n2 π 2 )65( κ dt h 2 A n(t) = 0 که جواب معادله )68( پس از انتگراگیری مستقیم به صورت زیر به دست آمده است A )20( 0 (t) = Q cκ hk t + A 0(0) و جواب معادله )65 ) با حل معادله دیفرانسیل به صورت زیر به دست آمده است A n (t) = A n (0)e n2 π 2 κ h 2 t )26( اگر (t) A 0 و( t ) A n از روابط )20( و )26( را در رابطه )61( قرار دهیم و تغییر متغیر t τ = κ کنیم (t θ,z) به صورت زیر در می آید h2 را اعمال رابطه

669 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... θ (z, t) = A 0 (0) + Q ch K τ + A n(0)e n2 π 2τ cos nπ( 1 + z 2 h ) n=1 با اعمال شرط اولیه یعنی رابطه )69( و قرار دادن تابع f(z) از رابطه )64( در (t θ,z) در رابطه )22( در A n (0) + A n (0) cos nπ( 1 2 n=1 + z h ) = hq c K )22( اینصورت به رابطه )29( خواهیم رسید 1 2 (1 2 + z h )2 با توجه به رابطه بالا بسط فوریه تابع سمت راست تساوی مدنظر است. با توجه به این بسط ضرایب سری فوریه )29( به راحتی به صورت زیر محاسبه میشوند. برای A 0 (0) = 1 h h 2 h 2 h 2 hq c 2K ( 1 2 + z h )2 dz = Q c 6K A n (0) = 2 h hq c ( 1 h 2K 2 + z h )2 cos nπ ( 1 2 + z h ) dz )29( 2 = hq c 4( 1) n 2K n 2 π 2 بنابراین توابع θ و( f(z به طور کامل به دست آمدند و باتوجه به تغییر متغیر f(z) θ = θ + )24( t) θ(z, داریم θ = hq c K {τ 1 6 + 1 2 (1 2 + z h )2 2 ( 1)n e n2 π 2 τ n 2 π 2 cos nπ( 1 2 + z h )} n=1 )21( که به کمک رابطه )21( θ T(z, (t = T 0 + توزیع دما را در تیر مورد نظر نشان می دهد. این توزیع دما منجر به ایجاد گشتاور حرارتی می شود که این گشتاور منجر به ایجاد ارتعاشات می شود. پس برای محاسبه ارتعاشات نیازمند میزان گشتاور حرارتی هستیم. بنابراین ابتدا گشتاور حرارتی را محاسبه می کنیم: تنش ناشی از توزیع دما در تیر به صورت زیر است σ = Eε Eε T ε T کرنش حرارتی به صورت زیر تعریف می شود: )21( که در آن ε T = αθ = α(t T 0 ) )28( و بنابراین گشتاور حرارتی در تیر با انتگرال گیری از تنش تیر و لحاظ کردن بازوی گشتاورگیری به صورت زیر خواهد بود

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 664 h 2 M )25( T = Eα(T T 0 )zbdz h 2 با قرار دادن بسط مربوط به دما از رابطه )21( در عبارت بالا و انجام انتگرال گیری مربوطه و نظر به اینکه جملات با توزیع زوج گشتاور حرارتی در تیر به وجود نمیآورند مقدار گشتاور حرارتی تیر به صورت زیر محاسبه میشود. M T = Q cieα K (1 2 48 π 4 e n2π2τ n 4 ) n=1,3,5,.. )90( که در رابطه بالا = 1 I. 12 bh3 حال ممان حرارتی بی بعد را به صورت = T m تعریف میکنیم. بنابراین π4 KM T 192EIαQ c m T = 1 4 (π4 96 e n2π2τ n 4 ) n=1,3,5,.. )96( 2-2- معادله ارتعاشات تیر معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر اویلر-برنولی با در نظر گرفتن اینرسی دورانی به صورت زیر است[ 4 ] EI 4 W )92( x 4 + ρa 2 W t 2 ρi 4 W t 2 x 2 = 0 که در این رابطه W میزان جابهجایی عرضی تیر است. برای حل معادله )92( نیازمند چهار شرط مرزی و دو شرط اولیه هستیم. برای شرایط مرزی در دو انتهای تیر میزان جابهجایی وگشتاور کل صفر است و برای شرایط اولیه فرض می کنیم که جابهجایی و سرعت اولیه تیر صفر باشد. در اینصورت شرایط مرزی برای دو انتهای تیر یعنی L و = 0 x برابر است با W = 0 M = EI 2 W x 2 M T = 0 )99( )94( برای ساده سازی محاسبات بهتر است که معادلات و شرایط مرزی و شرایط اولیه را بی بعد کنیم. در اینصورت اگر ξ = x و جابهجایی عمودی بی بعد به صورت L صورت زیر نوشت = V تعریف شود می توان معادله )92( را به π4 KW 192Q c αl 2 B 4 4 V ξ 4 + 2 V τ 2 4 V r2 ξ 2 τ 2 = 0 )99(

669 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... که در رابطه بالا پارامتر B معرف پارامتر اینرسی است که اولین بار توسط بولی معرفی شده و به صورت زیر در پروسه بیبعد سازی به دست امده است. همچنین پارامتر r نیز بیانگر اینرسی دورانی تیر است و در حالت = 0 r اثر اینرسی دورانی حذف شده است. )91( در این رابطه B 4 = EIh4 ρaκ 2 L 4, r2 = I AL 2 B از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است که بیانگر ویژگی ها و خواص مکانیکی تیر از جمله مدول الاستیسیته طول ضخامت ممان اینرسی و ضریب پخش حرارت تیر است که با تغییر آن جواب معادله هم تغییر می کند. حال با توجه به عبارت های بی بعد تعریف شده شرایط مرزی روابط )99( و )94( را نیز بی بعد می کنیم. کلیه شرایط مرزی و شرایط اولیه در حالت بدون بعد به صورت زیر خواهند بود V = 2 V )91( ξ 2 + m T = 0 ξ = 0,1 V = V )98( τ = 0 τ = 0 برای حل معادله )99( تغییر متغیر V = V s + V ad که V s جواب شبه استاتیکی و V ad جواب اضافی است را در نظر میگیریم و در معادله )99( قرار می دهیم در نتیجه معادله زیر حاکم بر دو مجهول یعنی جواب شبه استاتیکی و جواب اضافی به دست میآید. B 4 ( 4 V s ξ 4 + 4 V ad ξ 4 ) + 2 V s τ 2 + 2 V ad τ 2 r 2 ( 4 V s ξ 2 τ 2 + 4 V ad ξ 2 τ 2) = 0 ) 95( با توجه به این موضوع که V s پاسخ شبه استاتیکی تیر است معادله )39( را میتوان به صورت زیر به شکل دو معادله مجزا در نظر گرفت 4 V s )40( ξ 4 = 0 ( B 4 4 V ad ξ 4 + 2 V ad τ 2 r2 4 V ad ξ 2 τ 2 = r2 4 V s ξ 2 τ 2 2 V s τ 2 )46 در شرایط مرزی و اولیه روابط )91( و )98( تغییر متغیر V = V s + V ad به گونه ای اعمال می کنیم که شرایط مرزی مربوط به جواب اضافی به صورت همگن باشد که برای حل آسان تر باشد. به همین منظور شرایط مرزی را به شکل زیر را در نظر می گیریم:

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 661 V s = 2 V s ξ 2 + m T = 0, ξ = 0,1 )42( V ad = d2 V ad = 0, ξ = 0,1 )49( و هم چنین در رابطه با شرایط اولیه )98( هم با تغییر متغیر مورد نظر داریم: dξ2 V )44( s + V ad = V s τ + V ad با انتگرال گیری از رابطه )41( به رابطه زیر خواهیم رسید = 0 τ τ =,0 V s = A +B ξ + Cξ 2 + Dξ 3 )49( با اعمال چهار شرط مرزی ارائه شده در رابطه )42( به رابطه )45( داریم A = 0 A + B + C + D = 0 2C = m T )41( C = 1/2m T در نهایت داشت T 2C + 6D = m از حل دستگاه معادلات بالا خواهیم = 0 D B = 1/2mT A = و V s به صورت زیر خواهد بود: V s V s = 1 2 m T(ξ 2 ξ) تابعیتی از زمان وجود دارد چون m T تابع زمان است. مقدار در زمان اولیه برابر V s (t = 0) = 0 V s )41( توجه شود که در رابطه است با )48( و در حالت پایا داریم: V )45( s (t = ) = π4 768 (ξ2 ξ) حال به سراغ حل قسمت اضافی مسئله می رویم. اگر در رابطه )46( مقدار V s را قرار دهیم داریم: B 4 d4 V ad dξ 4 + d2 V ad dτ 2 d4 V ad r2 dξ 2 dτ 2 = π4 8 (ξ2 ξ 2r 2 ) e j2 π 2 τ j=1,3,5,.. شرایط مرزی معادله بالا در روابط )49( ارائه شدهاند. برای محاسبه جواب معادله )90( با توجه به این که شرایط مرزی به صورت ساده هستند است توابع ویژه شامل nπξ} {sin خواهد بود پس با بسط فوریه جواب به V ad = B n (τ) sin nπξ n=1 )90( شکل زیر قابل بیان است )51(

661 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... که اگر رابطه )51( را در رابطه )50( قرار دهیم به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر می رسیم: {(Bnπ) 4 B n + ((rnπ) 2 + 1) d2 B n dτ 2 } sin nπξ n=1 )52( = π4 8 (ξ2 ξ 2r 2 ) e j2 π 2 τ j=1,3,5,.. بسط بالا به نوعی بسط فوریه است و ضرایب آن به شکل زیر محاسبه میشوند. (Bnπ) 4 B n + ((rnπ) 2 + 1) d2 B n dτ 2 = π4 8 1 j=1,3,5,.. e j2 π 2 τ 2 (ξ 2 ξ 2r 2 ) sin nπξ dξ 0 که رابطه )53( خود یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن است. حاصل انتگرال معادله )53( به صورت زیر )53( قابل محاسبه است برقرار 1 (ξ 2 ξ 2r 2 ) sin nπξ dξ 0 )94( = 2( 1)n 2 (nπ) 3 + 2r2 (( 1) n 1) nπ در نتیجه رابطه )99( به صورت زیر ساده میشود. لازم به ذکر است که رابطه زیر تنها برای مقادیر فرد n (Bnπ) 4 B n + ((rnπ) 2 + 1) d2 B n dτ 2 = π4 n 3 π 3 ((rnπ)2 + 1) e j2 π 2 τ j=1,3,5,.. است. حال برای محاسبه پاسخ معادله )99( باید در نظر داشت که به دلیل ناهمگن بودن معادله جواب خصوصی و عمومی وجود دارد. جواب خصوصی این معادله با توجه به تغییرات نمایی در سمت راست تساوی به شکل B n P = G n e j2 π 2 τ j=1,3,5,.. G n )99( زیر است )91( که با قرار دادن در معادله )99( مقدار برابر است با : G n = (rnπ) 2 + 1 n 3 π 3 {((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 } )91(

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 668 و جواب عمومی B n هم با همگن کردن معادله )99( به صورت زیر قابل بیان است )98( B h B 2 n 2 π 2 n = E n sin (rnπ) 2 + 1 τ B 2 n 2 π 2 + F n cos (rnπ) 2 + 1 τ بنابراین پاسخ های بخش خصوصی و عمومی معادله به شکل زیر قابل نمایش هستند. P ((rnπ) 2 + 1)e j2 π 2 τ = { ( n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) ) } sin nπξ V ad n=1,3,5,... j=1,3,5,... V h B 2 n 2 π 2 ad = {E n sin (rnπ) 2 + 1 τ n=1,3,5,... B 2 n 2 π 2 + F n cos τ} sin nπξ (rnπ) 2 + 1 )95( و F n را محاسبه کنیم. با توجه به رابطه )44( V s برابر صفر است زیرا t = 0 حال با توجه به روابط شرایط اولیه )44( می توانیم مقادیر E n و شرط اولیه مربوط به جابهجایی می توان گفت که V ad اولیه برابر با صفر است. بنابراین با اعمال شرط اولیه زیر در لحظه در زمان ( n=1,3,5,... j=1,3,5,... F n = V ad = 0, t = 0 )10( و باتوجه به جوابهای ارائه شده در )59( داریم : (rnπ) 2 + 1 n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) + F n) = 0 j=1,3,5,... )61( که در نتیجه ضرایب F n برابر هستند با (rnπ) 2 + 1 n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) )12( در شرط اولیه دوم در رابطه )44( داریم: V )63( τ = V s τ + V ad که می توان نتیجه گرفت : 0 = τ τ = 0,

665 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... V ad τ τ=0 = V s τ τ=0 = 1 2 j=1,3,5,.. dm T dτ (ξ 2 ξ) τ=0 = π2 8 (ξ2 ξ) e j2π2τ j 2 τ=0 = π4 64 (ξ2 ξ) E n )64( بنابراین با درنظر گرفتن مجموع روابط )59( می توان معادله زیر را برای محاسبه کرد ( n=1,3,5, j=1,3,5,... j 2 π 2 ((rnπ) 2 + 1) n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) + B2 n 2 π 2 (rnπ) 2 + 1 E n) sin nπξ = π4 64 (ξ2 ξ) همانطور که در رابطه )19( ملاحظه می شود بسط سری فوریه شکل گرفته است و ضرایب آن عبارتند از j=1,3,5,... j 2 π 2 ((rnπ) 2 + 1) n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) + B2 n 2 π 2 (rnπ) 2 + 1 E n = 8π4 64n 3 π 3 )19( )11( که از رابطه )11( می توان مقدار E n را محاسبه نمود وداریم E n = (j nb ) 2 [(rnπ) 2 + 1] 3/2 n 3 π 3 (((rnπ) 2 + 1)j 4 + (Bn) 4 ) j=1,3,5,... π2 [(rnπ) 2 + 1] 1/2 8(Bn) 2 (nπ) 3 E n و F n را به ترتیب از روابط )12( و) 18 ( در رابطه )95( قرار دهیم و دو بخش رابطه )95( )11( حال اگر ضرایب را با هم جمع کنیم خواهیم داشت : = n=1,3,5, V ad sin nπξ (nπ) 3 ( π2 μ 8(Bn) 2 sin f nτ + μ2 e j2π2τ + ( j nb ) 2 μ 3 sin f n τ μ 2 cos f n τ μ 2 j 4 + (Bn) 4 ) j=1,3,5,.. )18( و f μ = (rnπ) 2 n = μ 1 B 2 n 2 π 2 استفاده شده است. که در رابطه بالا از تعاریف + 1

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 620 حال اگر روابط )41( و )18( یعنی V = V s + V ad را باهم جمع کنیم V جواب کل است که معرف جابجایی دینامیکی هر نقطه از تیر در زمان خواهد بود. لازم به ذکر است که میتوان توزیع گشتاور تیر را نیز بر حسب زمان محاسبه نمود. با توجه به تعریف گشتاور تیر بیبعد سازی آن و همچنین تقسیم جواب به دو بخش اضافی و شبهاستاتیکی میتوان نوشت m = 2 V ad )15( ξ 2 2 V s ξ 2 m T با قرار دادن پاسخهای به دست امده در روابط )41( و )18( در رابطه )15( خواهیم داشت = n=1,3,5, m sin nπξ nπ ( π2 μ 8(Bn) 2 sin f nτ + μ2 e j2π2τ + ( j nb ) 2 μ 3 sin f n τ μ 2 cos f n τ μ 2 j 4 + (Bn) 4 ) j=1,3,5,... )10( لازم به ذکر است که چنانچه در رابطه بالا پارامتر μ برابر با یک انتخاب شود نتایج به دست آمده در روابط )18( و )10( به نتایج ارائه شده توسط بولی کاهش پیدا میکند. 3 -ارائه نتایج و بحث فرمولاسیون ارائه شده در بخش پیش برای بررسی پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت بر روی یک تیر ساخته شده از ماده ایزوتروپ و هموژن صورت گرفته است. فرض بر آن است که تیر در دو انتها دارای تکیه گاه ساده بوده و در یک سطح به شکل عایق حرارتی عمل کرده و در سطح دیگر در معرض شار حرارتی باشد. 0.06 0.05 V=V s +V ad 0.04 0.03 V s 0.02 0.01 0 شکل 2 - -0.01 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 مقایسه خیز میانه تیر در دو حالت شبه استاتیکی و جواب کلی برای حالت = 1 B

626 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... در ارائه فرمولاسیون پیشین منحنی جابجایی تیر به دو دسته جواب تقسیم شده است که عبارتند از تابع جواب شبه استاتیکی خواهد بود. V s و تابع جواب اضافی V. ad ارتعاشات عرضی تیر در مجموع به صورت جمع این دو جواب لازم به ذکر است که قسمت جواب اضافی V ad به شدت تابع پارامتری به نام پارامتر اینرسی است که در طول این تحقیق با B نشان داده شده است و وابسته به خواص هندسی و جنس تیر است. حال در دو حالت حدی اثر B را بررسی میکنیم. ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پارامتر B برابر با صفر باشد. در این حالت با تیری سر و کارداریم که سفتی خمشی برابر با صفر دارد و به همین خاطر ممان خمشی در تیر تنها برابر با قرینه ممان حرارتی خواهد بود. از سوی دیگر در این حالت جابجایی اضافی تیر برابر است با قرینه جابجایی استاتیکی و مقدار کل جابجایی تیر برابر با صفر است. درحالت حدی دیگر که پارامتر B برابر با بینهایت باشد کل گشتاور در تیر برابر با صفر است. ضمنا با بزرگ بودن این پارامتر جابجایی اضافی V ad برابر با صفر است و تنها پاسخ شبهاستاتیکی برای یافتن پاسخ تیر کفایت میکند. به عبارت دیگر در حالی که پارامتر اینرسی عدد بزرگی باشد نیازی به حل اضافی نخواهد بود و پاسخ شبه استاتیکی تیر برای محاسبه جابجایی در تیر کافی است. لازم به ذکر است که پارامتر r که مربوط به تاثیر اینرسی دورانی است بیشتر در مودهای بالای ارتعاشی قابل بروز است. برای نتایج اتی این پارامتر برابر با یک هزارم در نظر گرفته شده است. 0.035 0.03 0.025 V=V s +V ad V s 0.02 0.015 0.01 0.005 0 شکل 3 - -0.005 0 0.25 0.5 0.75 1 مقایسه خیز میانه تیر در دو حالت شبه استاتیکی و جواب کلی برای حالت = 5 B. منحنی ارتعاشی جمع دو جواب و منحنی نفوذ حالت شبه استاتیک است.

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 622 0.07 0.06 V=V s +V ad 0.05 0.04 0.03 V s 0.02 0.01 0-0.01 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 شکل 4 - مقایسه خیز میانه تیر در دو حالت شبه استاتیکی و جواب کلی برای حالت = 0.5 B. 2 1.9 1.8 max(v s +V ad ) / max(v s ) 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 B شکل 5 - مقایسه نسبت خیز ماکزیمم کل به شبه استاتیک در میانه تیر.

629 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... پیش از بولی همواره برای محاسبه جابجایی در سازههایی که در معرض شوک حرارتی بودند معادله انتقال حرارت برای یافتن توزیع دما حل میشد و نتایج آن به صورت مجزا وارد معادلات تعادل تیر میشد که نتیجه آن پاسخ شبه استاتیکی تیر است. در ادامه نشان میدهیم که بسته به مقدار پارامتر B این حل نمیتواند صحیح باشد و منجر به خطاهایی در پارهای از موارد خواهد شد. شکل )2( نشان میدهد که مقدار دو جواب به دست آمده از حل شبه استاتیکی و حل کلی )مجموع دو جواب شبه استاتیکی و جواب اضافی( به شدت تابع پارامتر B است. در این شکل برای حالت = 1 B دو جواب را مقایسه کردهایم. همانگونه که مشاهده میشود پاسخ به دست امده از جواب شبه استاتیکی ماهیت نفوذ دارد زیرا از اینرسی تیر صرفنظر میکند. حال انکه پاسخ اضافی تیر دارای جملاتی به شکل هارمونیک است و رفتار ارتعاشی و موجی را برای تیر پیشبینی میکند. لازم به ذکر است که در حالتی که پاسخ شبه استاتیکی به عنوان جواب در نظر گرفته شود مقدار جابجایی تیر به شدت با اشتباه بزرگی پیشبینی میشود. دو شکل )9( و )4( نیز مقایسهای میان دو پاسخ شبه استاتیکی و پاسخ کلی تیر انجام شده است. در هر دو این منحنیها نیز همانگونه که نشان داده شده است پاسخ شبه استاتیکی و پاسخ کلی از هم مجزا هستند. با بالارفتن پارامتر B همانگونه که انتظار میرود این دو پاسخ به هم نزدیک میشوند که به نوعی بیانگر آن است که پاسخ شبه استاتیکی برای حل مساله در حالتی که پارامتر B عدد بزرگی باشد کفایت میکند. همانگونه که از مقایسه نتایج این سه شکل بر میآید پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت با بالارفتن مقدار پارامتر اینرسی کاهش مییابد و به نوعی مختص تیرهای نازک میباشد )پارامتر B با ضخامت تیر نسبت مستقیم دارد(. ضمنا دوره ارتعاشات تیر با بالارفتن پارامتر B کاهش مییابد )فرکانس افزایش مییابد( و دامنه ارتعاشات نیز با بالارفتن پارامتر اینرسی کاهش مییابد. شکل )9( مقایسهای از میزان خطا را دو در حالت شبه استاتیکی و کلی ارائه میکند. بدین منظور با بازنگری تاریخچه جابجایی تیر مقدار جابجایی ماکزیمم بر حسب دو حل کلی و شبه استایکی محاسبه شده و نسبت آنها در شکل )9( رسم شده است. همانگونه که گفته شد با بالارفتن پارامتر B و محو شدن ارتعاشات واداشته از حرارت جواب شبه استاتیک تقریب بسیار خوبی برای پاسخ تیر خواهد بود. 4- نتیجهگیری تحقیق حاضر به بررسی پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرهای اویلر-برنولی پرداخته است. بدین منظور معادله انتقال حرارت در راستای ضخامت تیر برای حالتی که تیر در یک سمت عایق شده و در سمت دیگر در معرض شار حرارتی انی قرار بگیرد تشکیل و به صورت تحلیلی حل شده است.با استفاده از پروفیل دمای به دست آمده گشتاور حرارتی در تیر محاسبه شده و معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر با حضور اینرسی دورانی حل شده است.حل به کار رفته بر پایه حل بولی بوده که مناسب برای تیرها با شرایط مرزی ساده است. لازم به ذکر است که تفاوت بنیادی حل حاضر با حل بولی در نظر گرفتن اینرسی دورانی بوده که در حل بولی صرفنظر شده است.

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 624 جوابهای به دست آمده از تحلیل حاضر با صرفنظر از اینرسی دورانی به راحتی به حل بولی کاهش مییابد. نتایج عددی در قالب منحنیهایی رسم شده که به خوبی بروز پدیده ارتعاشات واداشته از حرارت را بسته به مقدار پارامتر اینرسی تایید میکند. مراجع [1] Boley, B. A., "Thermally Induced Vibrations of Beams", Journal of Aeronautical Sciences, Vol. 23, pp. 170-181, (1956). [2] Boley, B. A., and Barber, A. D., "Dynamic Response of Beams and Plates to Rapid Heating", Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, pp. 413-425, (1957). [3] Hetnarski, R., and Eslami, M.R., "Thermal Stresses Advanced Theory and Applications", 1 st Editions, Springer, Amsterdam, (2009). [4] Reddy, J.N., "Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells", 1 st Editions, CRC Press, Boca Raton, (2003). [5] Boley, B. A., and Weiner, J.H., "Theory of Thermal Stresses", 1 st Editions, Wiley, New York, (1960). فهرست نمادهای انگلیسی : A سطح مقطع تیر : b پهنای تیر : پارامتر اینرسی : ظرفیت گرمایی تیر : E مدول الاستیسیته تیر : h ضخامت تیر : I ممان اینرسی سطح مقطع تیر : K ضریب انتقال حرارت هدایتی تیر : طول تیر B c L : M گشتاور موجود در تیر : گشتاور حرارتی موجود در تیر : گشتاور بیبعد موجود در تیر : گشتاور حرارتی بیبعد موجود در تیر : مقدار شار حرارتی بر روی تیر M T m m T Q c

629 ارتعاشات واداشته از حرارت در تیرها با در نظر گرفتن... r T T 0 t : پارامتر بدون بعد اینرسی دورانی : پروفیل دما در تیر : دمای مرجع : زمان V V s V ad W x z α ε σ ρ κ ξ τ : جابجایی عرضی بدون بعد تیر : جابجایی عرضی شبه استاتیکی بدون بعد تیر : جابجایی عرضی اضافی بدون بعد تیر : جابجایی عرضی تیر : مختصه طول تیر : مختصه ضخامت تیر : ضریب انبساط حرارتی تیر : کرنش تیر : تنش تیر : چگالی تیر : ثابت نفوذ حرارتی تیر : مختصه بیبعد طول تیر : مختصه بیبعد زمان

نشریة پژوهشی مهندسی مکانیک ایران سال نوزدهم شماره دوم پاییز 6951 621 Abstract Present research deals with the thermally induced vibrations of beams. The structure is made of an isotropic homogeneous material and is subjected to rapid surface heating on the upper surface while the lower one in thermally insulated. Based on the assumption of uncoupled thermo-elasticity, the one-dimensional transient heat conduction equation is solved analytically. The transverse vibration equation of the beam is obtained with the aid of the Euler-Bernoulli assumptions and consideration of the rotary inertia. This equation is also solved analytically for simply supported beams using the Fourier series expansion. The solution of this equation is divided into two parts, namely the quasi-static response and the complementary response. All of the results are presented in a dimensionless form and the obtained formula are compared with those provided by neglecting the inertia effects. Finally, graphical presentation of mid-span vibrations of the beam are given which accept the existence of thermally induced vibrations.